高考數學(xué)解題方法和必背公式。數學(xué)是高中階段*重要的一門(mén)*。數學(xué)的重要性,不僅僅體現在它是高考主科,出題非常具有區分度,人人聞風(fēng)喪膽;更重要的是,數學(xué)提供了一種深度的邏輯思維訓練,這種思維的力量貫穿于高中時(shí)代的各個(gè)*,尤其是理工科之中。大家可能已經(jīng)發(fā)現,數學(xué)好的人,一般物理也不會(huì )差。這就是數學(xué)和物理思維的相通性:基于公理、抽象和演繹的邏輯。
今天,老師為大家整理了一份高中數學(xué)老師都推薦的數學(xué)解題方法,這里面涵蓋了高中數學(xué)的方方面面,可以說(shuō)是高中數學(xué)解題方法大綜合,各位同學(xué)一定要記得收藏哦!
1,適用條件:
[直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)],必有ecosA=(x-1)/(x+1),其中A為直線(xiàn)與焦點(diǎn)所在軸夾角,是銳角。x為分離比,必須大于1。注上述公式適合一切圓錐曲線(xiàn)。如果焦點(diǎn)內分(指的是焦點(diǎn)在所截線(xiàn)段上),用該公式;如果外分(焦點(diǎn)在所截線(xiàn)段延長(cháng)線(xiàn)上),右邊為(x+1)/(x-1),其他不變。
2,函數的周期性問(wèn)題(記憶三個(gè)):①、若f(x)=-f(x+k),則T=2k; ②、若f(x)=m/(x+k)(m不為0),則T=2k; ③、若f(x)=f(x+k)+f(x-k),則T=6k。注意點(diǎn):a.周期函數,周期必無(wú)限b.周期函數未必存在*小周期,如:常數函數。c.周期函數加周期函數未必是周期函數,如:y=sinxy=sin派x相加不是周期函數。
3,關(guān)于對稱(chēng)問(wèn)題(無(wú)數人搞不懂的問(wèn)題)總結如下:①,若在R上【天津高中輔導機構】(下同)滿(mǎn)足:f(a+x)=f(b-x)恒成立,對稱(chēng)軸為x=(a+b)/2;②、函數y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對稱(chēng);③、若f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)圖像關(guān)于(a,b)中心對稱(chēng)。
4,函數奇偶性:①、對于屬于R上的奇函數有f(0)=0;②、對于含參函數,奇函數沒(méi)有偶次方項,偶函數沒(méi)有奇次方項③,奇偶性作用不大,一般用于選擇填空。
5,數列爆強定律:①,等差數列中:S奇=na中,例如S13=13a7(13和7為下角標);②,等差數列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差;③,等比數列中,上述2中各項在公比不為負一時(shí)成等比,在q=-1時(shí),未必成立;④,等比數列爆強公式:S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q。
6,數列的*利器,特征根方程。首先介紹公式:對于an+1=pan+q(n+1為下角標,n為下角標),a1已知,那么特征根x=q/(1-p),則數列通項公式為an=(a1-x)p2(n-1)+x,這是一階特征根方程的運用。二階有點(diǎn)麻煩,且不常用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上述公式。當然這種類(lèi)型的數列可以構造(兩邊同時(shí)加數)。
7,函數詳解補充:①、復合函數奇偶性:內偶則偶,內奇同外;②、復合函數單調性:同增異減;③、重點(diǎn)知識關(guān)于三次函數:恐怕沒(méi)有多少人知道三次函數曲線(xiàn)其實(shí)是中心對稱(chēng)圖形。它有一個(gè)對稱(chēng)中心,求法為二階導后導數為0,根x即為中心橫坐標,縱坐標可以用x帶入原函數界定。另外,必有*一條過(guò)該中心的直線(xiàn)與兩旁相切。
8,常用數列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2記憶方法:前面減去一個(gè)1,后面加一個(gè),再整體加一個(gè)2。
9,適用于標準方程(焦點(diǎn)在x軸)爆強公式:k橢=-{(b2)xo}/{(a2)yo}k雙={(b2)xo}/{(a2)yo}k拋=p/yo注:(xo,yo)均為直線(xiàn)過(guò)圓錐曲線(xiàn)所截【天津高三補習中心哪里好】段的中點(diǎn)。
10,強烈推薦一個(gè)兩直線(xiàn)垂直或平行的必殺技:已知直線(xiàn)L1:a1x+b1y+c1=0直線(xiàn)L2:a2x+b2y+c2=0若它們垂直:(充要條件)a1a2+b1b2=0;若它們平行:(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[這個(gè)條件為了防止兩直線(xiàn)重合)注:以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩,直接必殺!
11,經(jīng)典中的經(jīng)典:相信鄰項相消大家都知道。下面看隔項相消:對于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]注:隔項相加保留四項,即首兩項,尾兩項。自己把式子寫(xiě)在草稿紙上,那樣看起來(lái)會(huì )很清爽以及整潔!
12,爆強△面積公式:S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)注:這個(gè)公式可以解決已知三角形三點(diǎn)坐標求面積的問(wèn)題!
13,你知道嗎?空間立體幾何中:以下命題均錯:1,空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面;2,垂直同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行;3,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;4,如果一條直線(xiàn)與平面內無(wú)數條直線(xiàn)垂直,則直線(xiàn)垂直平面;5,有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱;6,有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐注。
14,一個(gè)小知識點(diǎn):所有棱長(cháng)均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。
15,求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n為正整數)的*小值。答案為:當n為奇數,*小值為(n2-1)/4,在x=(n+1)/2時(shí)取到;當n為偶數時(shí),*小值為n2/4,在x=n/2或n/2+1時(shí)取到。
16,〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b為正數,是統一定義域)
17,橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式:S=b2tan(A/2)在雙曲線(xiàn)中:S=b2/tan(A/2)說(shuō)明:適用于焦點(diǎn)在x軸,且標準的圓錐曲線(xiàn)。A為兩焦半徑【天津高三全日制補習班】夾角。
18,爆強定理:空間向量三公式解決所有題目:cosA=|{向量a.向量b}/[向量a的?！料蛄縝的模]|一:A為線(xiàn)線(xiàn)夾角,二:A為線(xiàn)面夾角(但是公式中cos換成sin)三:A為面面夾角注:以上角范圍均為[0,派/2]。
19,爆強公式12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)2。
20,爆強切線(xiàn)方程記憶方法:寫(xiě)成對稱(chēng)形式,換一個(gè)x,換一個(gè)y。舉例說(shuō)明:對于y2=2px可以寫(xiě)成y×y=px+px再把(xo,yo)帶入其中一個(gè)得:y×yo=pxo+px。
21,爆強定理:(a+b+c)2n的展開(kāi)式[合并之后]的項數為:Cn+22,n+2在下,2在上。
22,切線(xiàn)長(cháng)l=√(d2-r2)d表示圓外一點(diǎn)到圓心得距離,r為圓半徑,而d*小為圓心到直線(xiàn)的距離。
23,對于y2=2px,過(guò)焦點(diǎn)的互相垂直的兩弦AB、CD,它們的和*小為8p。爆強定理的證明:對于y2=2px,設過(guò)焦點(diǎn)的弦傾斜角為A.那么弦長(cháng)可表示為2p/〔(sinA)2〕,所以與之垂直的弦長(cháng)為2p/[(cosA)2],所以求和再據三角知識可知。(題目的意思就是弦AB過(guò)焦點(diǎn),CD過(guò)焦點(diǎn),且AB垂直于CD)。
24,關(guān)于一個(gè)重要*值不等式的介紹爆強:∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
25,關(guān)于解決證明含ln的不等式的一種思路:舉例說(shuō)明:證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左邊看成是1/n求和,右邊看成是Sn。解:令an=1/n,令Sn=ln(n+1),則bn=ln(n+1)-lnn,那么只需證an>bn即可,根據定積分知識畫(huà)出y=1/x的圖。an=1×1/n=矩形面積>曲線(xiàn)下面積=bn。當然前面要證明1>ln2。注:僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣,就是把左邊、右邊看成是數列求和,證面積大小即可。說(shuō)明:前提是含ln。
【天津高中輔導班排名榜名學(xué)生】26,簡(jiǎn)潔公式:向量a在向量b上的射影是:〔向量a×向量b的數量積〕/[向量b的模]。
27,說(shuō)明一個(gè)易錯點(diǎn):若f(x+a)[a任意]為奇函數,那么得到的結論是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右邊不是-f(-x-a)〕,同理如果f(x+a)為偶函數,可得f(x+a)=f(-x+a)牢記!
28,離心率爆強公式:e=sinA/(sinM+sinN)注:P為橢圓上一點(diǎn),其中A為角F1PF2,兩腰角為M,N。
29,橢圓的參數方程也是一個(gè)很好的東西,它可以解決一些*值問(wèn)題。比如x2/4+y2=1求z=x+y的*值。解:令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!
30,爆強公式:和差化積sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]積化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
31,爆強定理:直觀(guān)圖的面積是原圖的2/4倍。
32,三角形垂心爆強定理:1,向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O為三角形外心,H為垂心)2,若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在函數y=1/x的圖象上,則它的垂心也在這個(gè)函數圖象上。
33,爆強思路:如果出現兩根之積x1x2=m,兩根之和x1+x2=n,我們應當形成一種思路,那就是返回去構造一個(gè)二次函數,再利用△大于等于0,可以得到m、n范圍。
34,常用結論:過(guò)(2p,0)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)y2=2px于A(yíng)、B兩點(diǎn)。O為原點(diǎn),連接AO.BO。必有角AOB=90度
35,爆強公式:ln(x+1)≤x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問(wèn)題。舉例說(shuō)明:ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+…+ln(1/(n2)+1)<1(n≥2)證明如下:令x=1/(n2),根據ln(x+1)≤x有左右累和右邊再放縮得:左和<1-1/n<1證畢!
36,函數y=(sinx)/x是偶函數。在(0,派)上它單調遞減,(-派,0)上單調遞增。利用上述性質(zhì)可以比較大小。
37,函數y=(lnx)/x在(0,e)上單調遞增,在(e,+無(wú)窮)上單調遞減。另外y=x2(1/x)與該函數的單調性一致。
38,幾個(gè)數學(xué)易錯點(diǎn):f`(x)<0是函數在定義域內單調遞減的充分不必要條件;在研究函數奇偶性時(shí),忽略*開(kāi)始的也是*重要的一步:考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)!
39,不等式的運用過(guò)程中,千萬(wàn)要考慮"="號是否取到!研究數列問(wèn)題不考慮分項,就是說(shuō)有時(shí)*項并不符合通項公式,所以應當極度注意:數列問(wèn)題一定要考慮是否需要分項!
39,提高計算能力五步曲:①,扔掉計算器;②,仔細審題(提倡看題慢,解題快),要知道沒(méi)有看清楚題目,你算多少都沒(méi)用!;③,熟記常用數據,掌握一些速算技巧;④,加強心算,估算能力;⑤,[檢驗]!。
41,一個(gè)美妙的公式…:爆強!已知三角形中AB=a,AC=b,O為三角形的外心,則向量AO×向量BC(即數量積)=(1/2)[b2-a2]強烈推薦!證明:過(guò)O作BC垂線(xiàn),轉化到已知邊上
42,①函數單調性的含義:大多數同學(xué)都知道若函數在區間D上單調,則函數值隨著(zhù)自變量的增大(減小)而增大(減小),但有些意思可能有些人還不是很清楚,若函數在D上單調,則函數必連續(分段函數另當別論)這也說(shuō)明了為什么不能說(shuō)y=tanx在定義域內單調遞增,因為它的圖像被無(wú)窮多條漸近線(xiàn)擋住,換而言之,不連續.還有,如果函數在D上單調,則函數在D上y與x一一對應.這個(gè)可以用來(lái)解一些方程.至于例子不舉了.②函數周期性:這里主要總結一些函數方程式所要表達的周期設f(x)為R上的函數,對任意x∈R(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加*值,下同)(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a(4)設T≠0,有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)滿(mǎn)足M[M(x)]=x,且M(x)≠x則函數的周期為2
43,③奇偶函數概念的推廣:(1)對于函數f(x),若存在常數a,使得f(a-x)=f(a+x),則稱(chēng)f(x)為廣義(Ⅰ)型偶函數,且當有兩個(gè)相異實(shí)數a,b滿(mǎn)足時(shí),f(x)為周期函數T=2(b-a);(2)若f(a-x)=-f(a+x),則f(x)是廣義(Ⅰ)型奇函數,當有兩個(gè)相異實(shí)數a,b滿(mǎn)足時(shí),f(x)為周期函數T=2(b-a);(3)有兩個(gè)實(shí)數a,b滿(mǎn)足廣義奇偶函數的方程式時(shí),就稱(chēng)f(x)是廣義(Ⅱ)型的奇,偶函數.且若f(x)是廣義(Ⅱ)型偶函數,那么當f在[a+b/2,∞)上為增函數時(shí),有f(x1)
44,④函數對稱(chēng)性:(1)若f(x)滿(mǎn)足f(a+x)+f(b-x)=c則函數關(guān)于(a+b/2,c/2)成中心對稱(chēng)(2)若f(x)滿(mǎn)足f(a+x)=f(b-x)則函數關(guān)于直線(xiàn)x=a+b/2成軸對稱(chēng)⑤柯西函數方程:若f(x)連續或單調(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),則f(x)=㏒ax;(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x2u(u由初值給出);(3)f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x;(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b特別的若f(x)+f(y)=f(x+y),則f(x)=kx。
45,與三角形有關(guān)的定理或結論中學(xué)數學(xué)平面幾何*基本的圖形就是三角形①在非Rt△中,有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;②任意三角形射影定理(又稱(chēng)*余弦定理):在△ABC中a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA;③任意三角形內切圓半徑r=2S/a+b+c(S為面積),外接圓半徑應該都知道了吧④梅涅勞斯定理:設A1,B1,C1分別是△ABC三邊BC,CA,AB所在直線(xiàn)的上的點(diǎn),則A1,B1,C1共線(xiàn)的充要條件是CB1/B1A.BA1/A1C.AC1/C1B=1。
44,易錯點(diǎn):①,函數的各類(lèi)性質(zhì)綜合運用不靈活,比如奇偶性與單調性常用來(lái)配合解決抽象函數不等式問(wèn)題;②,三角函數恒等變換不清楚,誘導公式不迅捷。
45,易錯點(diǎn):③,忽略三角函數中的有界性,三角形中角度的限定,比如一個(gè)三角形中,不可能同時(shí)出現兩個(gè)角的正切值為負;④4,三角的平移變換不清晰,說(shuō)明:由y=sinx變成y=sinwx的步驟是將橫坐標變成原來(lái)的1/∣w∣倍。
46,易錯點(diǎn):⑤,數列求和中,常常使用的錯位相減總是粗心算錯,規避方法:在寫(xiě)第二步時(shí),提出公差,括號內等比數列求和,*后除掉系數;⑥,數列中常用變形公式不清楚,如:an=1/[n(n+2)]的求和保留四項
47,易錯點(diǎn):⑦,數列未考慮a1是否符合根據sn-sn-1求得的通項公式;⑧,數列并不是簡(jiǎn)單的全體實(shí)數函數,即注意求導研究數列的*值問(wèn)題過(guò)程中是否取到問(wèn)題
48,易錯點(diǎn):⑨,向量的運算不完全等價(jià)于代數運算;⑩,在求向量的模運算過(guò)程中平方之后,忘記開(kāi)方。比如這種選擇題中常常出現2,√2的答案…,基本就是選√2,選2的就是因為沒(méi)有開(kāi)方;①①,復數的幾何意義不清晰
49,關(guān)于輔助角公式:asint+bcost=[√(a2+b2)【天津高中輔導班價(jià)格多少】]sin(t+m)其中tanm=b/a[條件:a>0]說(shuō)明:一些的同學(xué)習慣去考慮sinm或者cosm來(lái)確定m,個(gè)人覺(jué)得這樣太容易出錯*好的方法是根據tanm確定m.(見(jiàn)上)。舉例說(shuō)明:sinx+√3cosx=2sin(x+m),因為tanm=√3,所以m=60度,所以原式=2sin(x+60度)。
50,A、B為橢圓x2/a2+y2/b2=1上任意兩點(diǎn)。若OA垂直OB,則有1/∣OA∣2+1/∣OB∣2=1/a2+1/b2。
