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高三數學(xué)重要知識點(diǎn)歸納
軌跡,包含兩個(gè)方面的問(wèn)題:凡在軌跡上的點(diǎn)都符合給定的條件,這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點(diǎn)都不符合給定的條件,也就是符合給定條件的.點(diǎn)必在軌跡上,這叫做軌跡的完備性(也叫做充分性)。
一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟。
1.建立適當的坐標系,設出動(dòng)點(diǎn)M的坐標;
2.寫(xiě)出點(diǎn)M的集合;
3.列出方程=0;
4.化簡(jiǎn)方程為較簡(jiǎn)形式;
5.檢驗。
二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法:求軌跡方程的方法有多種,常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數法和交軌法等。
1.直譯法:直接將條件翻譯成等式,整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。
2.定義法:如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某種已知曲線(xiàn)的定義,則可利用曲線(xiàn)的定義寫(xiě)出方程,這種求軌跡方程的方法叫做定義法。
3.相關(guān)點(diǎn)法:用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標x,y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標x0、y0,然后代入點(diǎn)P的坐標(x0,y0)所滿(mǎn)足的曲線(xiàn)方程,整理化簡(jiǎn)便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法。
4.參數法:當動(dòng)點(diǎn)坐標x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí),往往先尋找x、y與某一變數t的關(guān)系,得再消去參變數t,得到方程,即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做參數法。
5.交軌法:將兩動(dòng)曲線(xiàn)方程中的參數消去,得到不含參數的方程,即為兩動(dòng)曲線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。
求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟:
①建系——建立適當的坐標系;
②設點(diǎn)——設軌跡上的任一點(diǎn)P(x,y);
③列式——列出動(dòng)點(diǎn)p所滿(mǎn)足的關(guān)系式;
④代換——依條件的特點(diǎn),選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關(guān)于X,Y的方程式,并化簡(jiǎn);
⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。
